Generalized fibonacci p-numbers and their applications with combinatorial approach

Bu çalışmada yeni bir 𝑘 parametresine göre bir yineleme bağıntısı ile sayılar arasındaki uzaklık tanımı kullanılarak hem Fibonacci, Jacobsthal, Narayana sayılarını hem de uzaklık durumundaki Fibonacci 𝑝-sayılarını genelleştiren Fibonacci (𝑘, 𝑝)-sayıları tanımlanmıştır. Bu sayıların dizileri ve kombinatoryal yorumları sunulmuştur. Bu dizilerin 𝑛-inci terimini bulmamıza olanak sağlayan açık formüller ve üreteç fonksiyonları elde edilmiştir. Ayrıca Fibonacci 𝑝-sayıları ve Fibonacci (𝑘, 𝑝)-sayıları için bir döşeme yaklaşımı verilmiştir. Fibonacci 𝑝-sayıları 𝑟 = 1 den 𝑟 = 𝑝 + 1 e kadar çeşitli 1 × 𝑟, 𝑟-ominolar kullanılarak bir 1 × 𝑛 tahtasını döşeme yollarının sayısı olarak yorumlanmış ve Fibonacci (𝑘, 𝑝)-sayıları, 𝑝-ominolar için 𝑘 farklı renk olmak üzere 1 × 1 kareler ve renkli 1 × 𝑝, 𝑝-ominolar kullanılarak bir 1 × 𝑛 tahtasını döşeme yollarının sayısı olarak yorumlanmıştır. Ayrıca bu sayıların özel alt indislerle çarpım eşitlikleri ve toplam formülleri, özelliklerinin türetilmesine olanak sağlayan döşeme yorumları ile verilmiştir. 2023, 101 Sayfa Anahtar Kelimeler: Döşeme, Fibonacci sayısı, Genelleştirilmiş Fibonacci sayıları, Kombinatoryal formül

In this study, Fibonacci (𝑘, 𝑝)-numbers which generalize both Fibonacci, Jacobsthal, Narayana numbers and Fibonacci 𝑝-numbers in the distance sense are defined by using the definition of the distance between numbers by a recurrence relation according to a new parameter 𝑘. Sequences and combinatorial interpretations of these numbers are presented. Explicit formulas that allow us to calculate the 𝑛th term and generating functions of these sequences are obtained. Also, a tiling approach to the Fibonacci 𝑝-numbers and the Fibonacci (𝑘, 𝑝)-numbers is given. The Fibonacci 𝑝-numbers are interpreted as the number of ways to tile a 1 × 𝑛 board by using various 1 × 𝑟, 𝑟-ominoes from 𝑟 = 1 up to 𝑟 = 𝑝 + 1, and the Fibonacci (𝑘, 𝑝)-numbers are interpreted as the number of ways to tile a 1 × 𝑛 board by using 1 × 1 squares and colored 1 × 𝑝, 𝑝-ominoes, where there are 𝑘 different colors for 𝑝-ominoes. Moreover, product identities and sum formulas of these numbers with special subscripts are given by tiling interpretations that allow the derivation of their properties. 2023, 101 Pages Keywords: Combinatorial formula, Fibonacci number, Generalized Fibonacci numbers, Tilings