Dijital imza algoritmalarının matematiksel incelenmesi

Bu tezde, klasik dijital imza algoritmaları, kör imza algoritmaları ve hash tabanlı temel kuantum dayanıklı imza algoritmaları kapsamlı bir biçimde incelenmiştir. İlk olarak, dijital imza mekanizmalarının matematiksel temelini oluşturan temel kavramlar tanıtılmış; bu kavramlara dayanan RSA, Rabin ve ElGamal gibi asimetrik şifreleme algoritmaları açıklanmıştır. Devamında, klasik dijital imza şemalarından RSA, Rabin, ElGamal, Fiat–Shamir, Guillou–Quisquater, Schnorr, DSA ve Nyberg–Rueppel algoritmaları ile bunların eliptik eğri tabanlı türevleri ele alınmış; ayrıca RSA, Rabin, Schnorr, DSA ve Nyberg–Rueppel algoritmalarının kör imza versiyonları ayrıntılı olarak incelenmiştir. Kuantum bilgisayarların klasik kriptografik sistemler üzerinde oluşturduğu tehditler çerçevesinde, hash tabanlı kuantum dayanıklı imza algoritmalarından Lamport ve Winternitz algoritmaları ele alınmıştır. Buna ek olarak, inkâr edilemez imza modeli kapsamında Chaum–van Antwerpen imza algoritması ile saldırı tespit edildiğinde imzalama işlemini durdurabilen GMR fail-stop imza algoritması incelenmiştir. Tez boyunca, her bir imza algoritmasının cebirsel işleyiş adımları ayrıntılı olarak sunulmuş ve geçerlilikleri özgün ispatlarla ortaya konulmuştur. Ayrıca, algoritmaların olasılıksal ve deterministik özellikleri ile güvenlik varsayımları analiz edilerek anlaşılabilirliği artırmak amacıyla her bir algoritma için örneklere yer verilmiştir.

In this thesis, classical digital signature algorithms, blind signature schemes, and basic hash-based quantum-resistant signature algorithms are comprehensively investigated. First, the fundamental concepts forming the mathematical basis of digital signature mechanisms are introduced, and asymmetric cryptographic algorithms such as RSA, Rabin, and ElGamal, which are built upon these concepts, are explained. Subsequently, classical digital signature schemes including RSA, Rabin, ElGamal, Fiat–Shamir, Guillou–Quisquater, Schnorr, DSA, and Nyberg–Rueppel, along with their elliptic curve–based variants, are examined. In addition, the blind signature versions of the RSA, Rabin, Schnorr, DSA, and Nyberg–Rueppel algorithms are analyzed in detail. Within the framework of the threats posed by quantum computers to classical cryptographic systems, fundamental hash-based quantum-resistant signature algorithms such as the Lamport and Winternitz schemes are studied. Furthermore, the Chaum–van Antwerpen signature algorithm, which operates under the undeniable signature model, and the GMR fail-stop signature algorithm, which can halt the signing process upon attack detection, are also investigated. Throughout the thesis, the algebraic operational steps of each signature algorithm are presented in detail, and their correctness is rigorously proven through original derivations. Moreover, the probabilistic and deterministic properties of the algorithms, together with their underlying security assumptions, are analyzed, and illustrative examples are provided for each algorithm to enhance clarity.