Split kuaterniyonlar temelinde hiperbolik spinorların incelenmesi ve lorentz dönüşümlerinin hiperbolik spinor gösterimleri

Bu tezde split kuaterniyonlar ile hiperbolik spinorlar arasındaki ilişkiler incelenmiş ve Lorentz dönüşümlerinin spinor gösterimlerindeki rolleri araştırılmıştır. Çalışmanın temel amacı, split kuaterniyon cebirine karşılık gelen hiperbolik spinor gösterimlerini elde etmek, bunlara ait matris gösterimlerini oluşturmak ve Lorentz dönüşümlerini hiperbolik spinorlar aracılığıyla ifade etmektir. Tezin ilk bölümünde araştırmanın amacı, önemi, varsayımları ve sınırlılıkları verilmiştir. İkinci bölümde reel kuaterniyonlar, spinorlar, split kuaterniyonlar ve split kuaterniyon matrisleri ile ilgili temel bilgiler sunulmuştur. Üçüncü bölümde hiperbolik sayı sistemi tanıtılmış, hiperbolik sayıların cebirsel özellikleri ele alınmış ve Lorentz dönüşümünün hiperbolik spinor temelleri incelenmiştir. Tezin özgün sonuçlarının yer aldığı dördüncü bölümde öncelikle split kuaterniyonların hiperbolik spinor gösterimleri elde edilmiştir. Bu gösterimler kullanılarak split kuaterniyonlar sınıflandırılmış ve karşılık gelen hiperbolik spinorlar incelenmiştir. Daha sonra split kuaterniyonlara karşılık gelen sol ve sağ hiperbolik spinor matrisleri tanımlanmış, temel hiperbolik spinor matrislerinin özdeğerleri hesaplanmış ve bu matrislerin cebirsel özellikleri belirlenmiştir. Ayrıca hiperbolik spinorlar cinsinden Lorentz dönüşümlerinin Weyl ve Dirac gösterimlerindeki ifadeleri elde edilmiş, üreteç matrisleri ve özellikleri incelenmiştir. Bunun yanında Weyl ve Dirac gösterimlerindeki hiperbolik 4-spinorlar arasındaki ilişkiler ortaya konulmuş ve bu gösterimler arasında dönüşüm bağıntıları elde edilmiştir. Son olarak split kuaterniyonlara karşılık gelen hiperbolik 4-spinorlar kullanılarak Lorentz dönüşümlerinin tek matrisli gösterimleri elde edilmiş ve dönüşümün hiperbolik spinorlar cinsinden daha doğrudan ifade edilebildiği gösterilmiştir. Son bölümde elde edilen bulgular değerlendirilmiş ve ileride yapılabilecek çalışmalara yönelik öneriler sunulmuştur.

This thesis investigates the relationship between split quaternions and hyperbolic spinors and explores the role of hyperbolic spinors in the representation of Lorentz transformations. The primary objective is to establish hyperbolic spinor representations associated with split quaternion algebra construct the corresponding matrix representations and formulate Lorentz transformations in terms of hyperbolic spinors. The first chapter introduces the aim, significance, assumptions and limitations of the study. The second chapter presents the fundamental concepts of real quaternions, spinors, split quaternions and split quaternion matrices. The third chapter introduces hyperbolic numbers, discusses their algebraic properties and reviews the spinor formulation of Lorentz transformations. The original contributions of the thesis are presented in the fourth chapter. Hyperbolic spinor representations corresponding to split quaternions are first constructed and the resulting hyperbolic spinors are classified and investigated. Subsequently, left and right hyperbolic spinor matrices are defined, the eigenvalues of the fundamental hyperbolic spinor matrices are computed and their algebraic properties are examined. Lorentz transformations are then expressed in terms of hyperbolic 4-spinors within the Weyl and Dirac representations and the associated generator matrices are derived together with their properties. The relationships between the hyperbolic 4-spinor representations in the Weyl and Dirac representations are also established. Finally, Lorentz transformations are represented by means of hyperbolic 4-spinors associated with split quaternions yielding single-matrix representations that provide a more direct hyperbolic spinor formulation. The final chapter summarizes the main findings and presents suggestions for future research.