Bi-periyodik (p,q)-Fibonacci ve Bi-periyodik (p,q) Lucas dizileri

Bu çalışmada (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci ve (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas dizilerinin rekürans bağıntıları kullanılarak Fibonacci tipi, Lucas tipi, bi-periyodik Fibonacci tipi ve bi-periyodik Lucas tipi dizileri genelleştiren bi-periyodik (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci ve bi-periyodik (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)- Lucas dizileri tanımlanmıştır. Bu dizilerin 𝑛𝑛-inci terimlerini hesaplamamızı sağlayan Binet formülleri, üretici fonksiyonları verilmiş ve ardışık terimlerinin yakınsaklık özellikleri incelenmiştir. Bi-periyodik (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci ve bi-periyodik (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas dizilerinin bazı temel eşitliklerinin Fibonacci ve Lucas dizilerinin iyi bilinen özelliklerine uygun olduğunu gösterilmiştir. Ayrıca (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci ve (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas dizileri için döşeme yaklaşımı sunulmuştur. Kareler için 𝑝𝑝 farklı renk ve dominolar için 𝑞𝑞 farklı renk olmak üzere renklendirilmiş 1 × 1 kareler ve renklendirilmiş 1 × 2 dominolar kullanılarak 𝑛𝑛-inci (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci sayısı bir 1 × 𝑛𝑛 tahtasını döşeme yollarının sayısı ve 𝑛𝑛-inci (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas sayısı dairesel bir 1 × 𝑛𝑛 tahtasını döşeme yollarının sayısı olarak yorumlanmıştır.

In this study, bi-periodic (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci and bi-periodic (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas sequences which generalize Fibonacci type, Lucas type, bi-periodic Fibonacci type and biperiodic Lucas type sequences are defined by using recurrence relations of (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)- Fibonacci and (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas sequences. Binet formulas that allow us to calculate the 𝑛𝑛th terms of these sequences, generating functions are given and the convergence properties of their consecutive terms are examined. It is shown that some fundamental identities of bi-periodic (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci and bi-periodic (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas sequences conform to the well-known properties of Fibonacci and Lucas sequences. Also, tiling approach to the (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci and (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas sequences is presented. The 𝑛𝑛th (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Fibonacci number is interpreted as the number of ways to tile a 1 × 𝑛𝑛 board, and 𝑛𝑛th (𝑝𝑝, 𝑞𝑞)-Lucas number is interpreted as the number of ways to tile a circular 1 × 𝑛𝑛 board by using colored 1 × 1 squares and colored 1 × 2 dominoes, where there are 𝑝𝑝 different colors for squares and 𝑞𝑞 different colors for dominoes.