BAKIR FİBONACCİ, k-ORESME DİZİLERİ VE ONLARIN BAZI ÖZEL DÖNÜŞÜMLERİ İLE HİPERBOLİK KUATERNİYONLARI

Bu tez çalışmasında, matematiksel dizi kuramının ve sayı teorisinin önemli alanlarından biri olan özel sayı dizileri üzerinde iki temel eksende kapsamlı bir genelleştirme ve uygulama çalışması yürütülmüştür. Tezin ilk ana ekseninde, limit durumunda metalik oranlardan “bakır oranı” değerini veren ve klasik Fibonacci dizisinin yeni bir genellemesi olan Bakır Fibonacci dizisi tanımlanmıştır. Bu dizinin tekrarlama bağıntısından yararlanılarak Bakır Lucas dizisi türetilmiştir. Her iki dizinin karakteristik denklemleri ve kökleri bulunarak derin matematiksel ilişkiler kurulmuş; kapalı formülleri, üreteç fonksiyonları ve binom toplam formülleri ayrıntılı şekilde incelenmiştir. Ayrıca, bu dizilere Catalan dönüşümü uygulanmış, elde edilen yeni diziler Hankel dönüşümüne tabi tutularak orijinal determinant yapıları elde edilmiştir. Bakır Fibonacci ve Bakır Lucas dizilerinin son aşamada dört boyutlu hiperkompleks sayı sistemlerinden olan hiperbolik kuaterniyonlara uygulamaları yapılarak; eşlenik, norm, Binet formülleri ve özel özdeşlikleri sistematik olarak hesaplanmıştır. Tezin ikinci ana ekseninde ise klasik Oresme dizisinin parametrik bir uzantısı olarak k-Oresme dizisi kurgulanmış ve bu bağıntı vasıtasıyla k-Oresme-Lucas dizisi keşfedilmiştir. Bu yeni dizi ailesinin de karakteristik yapıları ve asimptotik davranışları incelenerek Binet formülleri ile toplam formülleri yapılandırılmıştır. Tıpkı ilk grupta olduğu gibi, k-Oresme ailesinin de Catalan ve Hankel dönüşümleri hesaplanarak literatürdeki diğer tamsayı dizileriyle olan geçişkenlikleri analiz edilmiştir. Son olarak, bu dizilerin hiperbolik kuaterniyon formları tanımlanarak üreteç fonksiyonları ve aralarındaki karşılıklı bağıntılar cebirsel olarak ortaya konmuştur. Tezin genelinde her iki aile için de Cassini, Catalan, d'Ocagne ve Vajda gibi kritik matematiksel özdeşlikler doğrulanmış ve elde edilen özgün bulgular literatüre kazandırılmıştır.